問1 午前 平成27年度 春期 応用情報技術者試験

問題

ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに遵い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。

〔条件〕

(1)統合後の平均サービス時間:$T_s$

(2)統合前のATMの利用率:両支店とも$\rho$

(3)統合後の利用者数:統合前の両支店の利用者数の合計

ア$$\frac{\rho}{1-\rho} \times T_s$$

イ$$\frac{\rho}{1-2\rho} \times T_s$$

ウ$$\frac{2\rho}{1-\rho} \times T_s$$

エ$$\frac{2\rho}{1-2\rho} \times T_s$$

解説

この問題は以下のことを知っておく必要があります。利用率を用いると平均待ち時間は次のように求められます。
$$平均待ち時間=\frac{利用率}{1-利用率} \times T_s$$
その上で、この問題では「二つの支店を統合し」とあり、利用率は両支店ともにρであることから、統合後の利用率は2ρとなります。

なので利用率=2ρとすれば、エの式が正解だとわかります。

この問題でひっかかりやすい点は、数式が負になってしまうものを選択肢から外してしまうミスです。ρは0から1までの値をとるため、1-2ρは負になることがあります。例えばρが0.6だったら2ρは1を超えてしまうため、負になるのです。そうして「ウとエは負になってしまうから、負の平均待ち時間というのはあり得ない、だからこの選択肢は間違いだ」、としてしまったらダメです。

問題文には「ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする」とあります。実はこれが「2ρが1以上にならないという前提でこの問題を考えなさい」と言っている部分です。だから選択肢のウとエは負になることはないのです。2ρが1以上になってしまうと、待ち行列は無限大に発散します。つまりATMを利用しようとする人の列が無限に長くなってしまい、処理しきれなくなるわけです。そういったことはないですよ、とこの問題文はあらかじめ断っています。

この問題は平均待ち時間を求める上の式が思い出せないと確実な正解は難しいので、2分間考えてわからなかったら次へ行くべき問題です。

ちなみにρはローと読むギリシャ文字です。M/M/1は「エムエムワン」と読みます。最初のMはランダムでATM利用者が到着することを指します。つまり綺麗に一分間隔でATM利用者がやってくるのではなく、10分間やってこないこともあれば、10秒後にやってくることもあるということです。その間隔がランダムだということです。

次のもう一つのMは、サービス処理時間がランダムだということを指しています。ATMは毎回常にきっちり1分で処理完了というわけにはいかないということです。3分かかることもあれば、30秒でATM利用が終わってしまうこともあるということです。

最初のMは利用者が到着する間隔がランダムだということ、2つ目のMは処理時間がランダムだということです。

最後の1は処理能力の数を表しています。つまり同時に1人分のATM処理しかできないということです。2人目の人は、1人目の人のATM利用が終わってからしか利用できないことを指しています。

解答