問2 午前I共通 平成27年度 春期 高度情報処理技術者試験

問題

製品100個を1ロットとして生産する。一つのロットからサンプルを3個抽出して検査し、3個とも良品であればロット全体を合格とする。100個中に10個の不良品を含むロットが合格とされる確率は幾らか。

ア $$frac{7}{10}$$

イ $$frac{178}{245}$$

ウ $$frac{729}{1000}$$

エ $$frac{89}{110}$$

解説

中学校で習う確率レベルの問題です。製品100個から3つ取り出すときに、3つとも良品を抽出してしまう確率を求めれば良いわけです。製品100個中10個も不良品があるので、3回のサンプル抽出で不良品が一回でも当たれば、このロットは不良だと判明するわけですが、期待に反して3回とも良品に当ってしまう確率を求めます。

まず3回のサンプル抽出を一度のタイミングで取り出すとは考えずに、1つずつ順に取り出すと考えます。

一回目の抽出で良品を抽出してしまう確率は$$frac{90}{100}$$です。なぜなら100個のうち10個は不良品のため、残り90個が良品だからです。

この抽出によって、一つ良品を取り出し済みとします。この時点で残りは99個です。

次に2回目の抽出で、また良品を取り出してしまう確率を求めます。99個のうち、良品は89個です。なぜなら先ほど90個の良品のうち1個を取り出してしまったので、残りの良品は89個です。不良品を含めた全体の数は99個です。よって2回目に良品を取り出してしまう確率は$$frac{89}{99}$$です。

同様に、3回目の取り出しでは残り98個のうちまたもや良品を取り出してしまう確率を求めます。良品は残り88個なので、良品を取り出してしまう確率は$$frac{88}{98}$$です。

この3つの確率を全て掛けると$$frac{178}{245}$$になります。よってイが正解です。

なおこの分数の計算はまともに掛け算をすると数が大きくなりすぎて時間がかかるので、適宜約分しながら数を小さくしつつ計算しましょう。午前の問題は1問あたり2分もかけてはいられないので、1分半くらいで解きたい問題です。

解答